Aukštesnysis lygis
Nagrinėjami 4 ir 5 MO rinkinio pavyzdžiai.
1
Motyvuojantis įvadas
Paaiškinama logaritmo kilmė ir prasmė. Nuosekliai demonstruojamas MO „Logaritmo apibrėžimas“.
Mokytojo komentarai.
Logaritmo apibrėžimas
Mokytojas suformuluoja ir pateikia logoritmo apibrėžimą.
Jeigu ac = b tai c = log a b su apribojimais a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Diskusijos metu prašoma mokinių apribojimus pagrįsti. Yra galimybė mokinius vertinti kaupiamaisiais balais už teisingus aiškinimus ir/ar samprotavimus.
Apibendrinama naudojantis MO „Logaritmo savybės“ (dar kartą nuosekliai pagrindžiami apribojimai, taikomi logaritmo pagrindui ir argumentui).
Motyvuojantis intarpas
TED-ED kompanijos animuota medžiaga labai žaismingai paaiškinama, kas yra logaritmas ir kaip jis panaudojamas chemijoje apskaičiuojant pH.
Trumpa diskusija. Mokinių ir mokytojo komentarai.
Užduotys
Žodžiu, skaičiuojant mintinai, atliekamos užduotys iš vadovėlio „Matematika tau, 11 kl. Išplėstinis kursas“, 26 psl.
1
užduoties 3 klausimas. Naudodamiesi logaritmo ženklu, iš lygybės išreikškite laipsnio rodiklį.
2
užduotis. Perskaitykite logaritmą. Kam lygi jo reikšmė? Atsakymus pagrįskite.
3
užduotis. Raskite skaičių x, su kuriuo teisinga lygybė.
Mokytojas savo nuožiūra klausinėja mokinius, atsižvelgdamas į jų pasirengimo lygį.
Pagrindinė logaritmo tapatybė
Pateikiamas pagrindinės logaritmų tapatybės įrodymas. Mokytojo komentarai.
Dešimtainis ir natūrinis logaritmai
Trumpai paaiškinama, kas yra dešimtainis ir natūrinis logaritmas.
Pagrindinės logaritmų formulės ir savybės
Pateikiamos pagrindinės formulės ir savybės. Mokiniai užsirašo arba, taupant pamokos laiką, jos tiesiog visiems išspausdinamos ir išdalinamos.
Pateikiamas 3 formulės įrodymas.
Užduotys
Pagrindinis lygis
Nagrinėjami 4 ir 5 MO rinkinio pavyzdžiai.
Patenkinamas lygis
3 lygių „Pasirenkamojo atsakymo užduotys. Logaritmai“ (MO rinkinio 7 kadras). Renkasi B lygį. Sistema tikrina, mokiniai pasitikrina ir nagrinėja neteisingus atsakymus. Mokytojo pagalba ir komentarai.
Pirma savarankiško darbo užduotis
Atsižvelgiant į mokinių pasirengimo lygį, skiriamos savarankiško darbo užduotys klasėje, vertinama kaupiamuoju balu.
Aukštesnysis lygis
Prašoma įrodyti ir/ar pagrįsti 5, 6, 7, 8 logaritmų formules ir formulę
Pagrindinis lygis
Prašoma įrodyti ir/ar pagrįsti 1, 2, 4, 5 logaritmų formulės.
Patenkinamas lygis
Reikia pagrįsti pavyzdžiu 1, 2, 4, 5 formules.
Įrodymų ir/ar pagrindimų leidžiama ieškoti internete. Pastebint, kad mokiniams tam tikrą laiką sunku savarankiškai rasti pagalbos internete, siūloma pasinaudoti Wolfram demonstraciniu projektu RulesForLogarithms. Reikia, kad būtų instaliuotas Wolfram CDF grotuvas ir mokiniai turėtų bent minimalias anglų kalbos žinias.
Po paskirto laiko mokytojo pasirinkti mokiniai įrodymų formuluotes ir/ar pagrindimus pristato klasei (naudojant klasės valdymo programinę įrangą, pristatančių mokinių monitoriaus ekranas matomas kituose kompiuteriuose).
Mokytojas visas įrodymų formuluotes gali pasiruošti skaidrėse, taip jam lengviau apibendrinti ar kartoti pamoką. Taip taupomas pamokos laikas, ir yra galimybė skaidres nusiųsti visiems mokiniams (el. dienynas ir/ar el. paštas) arba demonstruoti klasės valdymo programinės įrangos pagalba arba per projektorių. Išsiunčiant skaidres, nedalyvavę pamokoje mokiniai turės galimybę savarankiškai susipažinti su įrodymų medžiaga.
Galimos pagrindinių logaritmo savybių įrodymų formuluotės-paaiškinimai
Kadangi a0 = 1, tai, remiantis logaritmo apibrėžimu, gauname, jog loga1 = 0.
Kadangi 100 = 1, tai, remiantis logaritmo apibrėžimu, gauname, jog log101 = lg1 = 0.
Kadangi e0 = 1, tai, remiantis logaritmo apibrėžimu, gauname, jog loge1 = ln1 = 0.
Kadangi a1 = a, tai, remiantis logaritmo apibrėžimu, gauname, jog logaa = 1.
Kadangi 101 = 10, tai, remiantis logaritmo apibrėžimu, gauname, jog log1010 = lg10 = 1.
Kadangi e1 = e, tai, remiantis logaritmo apibrėžimu, gauname, jog logee = lne = 1.
Įrodymas pateiktas MO rinkinyje (3 kadras).
Kadangi
Remiantis logaritmo apibrėžimu, iš lygybės
gauname, jog
Kadangi
Remiantis logaritmo apibrėžimu, iš lygybės
gauname, jog
Tarkime, jog
Remiantis 5 lygybe, gauname, jog
Remiantis 5 ir 6 savybėmis, gaunama 7 lygybė.
Kadangi
Remiantis logaritmo apibrėžimu, iš lygybės
gauname, jog
Remiantis 5 savybe, jog
gauname, kad
Remiantis 8 ir 9 lygybėmis,
Antra savarankiško darbo užduotis
Aukštesnysis lygis
3 lygių „Pasirenkamajo atsakymo užduotys. Logaritmai“ (MO rinkinio 7 kadras) ir „Trumpo atsakymo užduotys. Logaritmai“ (MO rinkinio 8 kadras). Renkasi A lygį.
Pagrindinis lygis
3 lygių „Pasirenkamajo atsakymo užduotys. Logaritmai“ (MO rinkinio 7 kadras) ir „Trumpo atsakymo užduotys. Logaritmai“ (MO rinkinio 8 kadras). Renkasi A lygį.
Patenkinamas lygis
3 lygių „Trumpo atsakymo užduotys. Logaritmai“ (MO rinkinio 8 kadras). Renkasi B lygį.
Kūrybinė namų darbų užduotis
Užduotis „Sukurkime žaidimą Logaritmai“ (MO rinkinio 6 kadras) skiriama tik pageidaujantiems arba aukštesnio lygio mokiniams.
Mokytojas savo nuožiūra skiria užduoties atlikimo laiką ir konsultuoja mokinius viso proceso metu.
Alternatyvi motyvuojanti namų darbų užduotis
1
Plačiau pasiskaityti apie skaičių e ir pristatyti savo įžvalgas.
2
Pasidomėti, kodėl logaritmas e pagrindu yra pats populiariausias, ir pateikti argumentus.
3
Pasidomėti ir pristatyti bent po vieną pavyzdį apie logaritmus astronomijoje, muzikoje, inžinerijoje, kompiuterių moksle, chemijoje ir kt.
4
Surasti arba sukurti ir pateikti bent vieną praktinę situaciją ir/arba užduotį, kurioje skaičiuojant reikėtų naudoti logaritmus.
Aukštesnysis lygis
Suradus 4 pavyzdį, tikimasi, kad mokiniai sukurs analogišką.
Pagrindinis lygis
Atlikti 1, 2, 3 užduotis ir pasidomėti 4.
Patenkinamas lygis
Siūloma atlikti 3 užduotį.
Pasiekimų ir pažangos vertinimas
Pamokoje naudojamas kaupiamasis vertinimas, kuris taikomas vertinant:
- teisingus mokinių atsakymus į klausimus;
- savarankiško darbo užduotis;
- mokėjimą pagrįsti išsakytą nuomonę;
- aktyvumą ir iniciatyvumą pamokoje;
- pagalbą draugui;
- mokymosi pažangą.
Namų darbai vertinami pažymiu, jeigu atliktas kūrybinis darbas žaidimas „Logaritmai“ veikia teisingai. Jei namų darbai atlikti nepilnai ar su netikslumais, mokytojo nuožiūra taikomas kaupiamasis vertinimas.
Namų darbų užduotis pristatoma ir aptariama kitos pamokos pradžioje. Išsamiausi atsakymai ir pristatymai vertinami kaupiamaisiais balais.
Apibendrinimas
Pamokos refleksijai skiriamos kelios minutės. Mokiniai peržvelgia savo užrašus, prisimena veiklas ir pildo pasiūlytą lentelę.
Mokytojas paprašo perskaityti savo refleksijas, trumpai pakomentuoja jas, patardamas, kaip ir į ką mokiniai turėtų atkreipti dėmesį, siekdami geresnių rezultatų.
